Раздел 3.4.  Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух случайных величин

Пусть есть две независимые выборки значений нормально распределенной величины x: х₁, х₂, ..., x_n - всего n элементов, и нормально распределенной величины y: y₁, y₂, ..., y_m - m элементов.

Предполагается, что Dx = Dу. (Предположение о равенстве дисперсий может быть проверено по "рецепту" 3.3).

Гипотеза Н₀ состоит в том, что Мх = Му. Это, пожалуй, наиболее распространенный тип гипотез в технологических, биологических, даже педагогических экспериментах. В обеих выборках существует одинаковый разброс, но важно определить, значимо ли на фоне этого разброса, отличаются средние значения выборок. Проверяемая гипотеза состоит в том, что математические ожидания не отличаются. Критерием проверки служит, как и в разделе 3.2, случайная величина t, но построенная более сложным образом.

, где z ~ N(0, 1), V ~ Χ²_ν.

Возьмем в качестве z комбинацию

(3.5)

Учитывая, что x ~ N(Mx, Dx), y ~ N(My, Dy), соответственно

~ N(Mx, Dx / n), ~ N(My, Dy / m), x и y независимы и поэтому дисперсия разности их среднеарифметических равна сумме дисперсий, а матожидание разности матожиданий, и помня о равенстве Dx и Dy, получим, что z, определенное по (3.5), действительно распределено нормально с параметрами Mz = 0, Dz = 1.

В качестве V возьмем V = (n - 1) S_x² / σ² + (m - 1) S_y² / σ² ~ Χ²_n+m-2,
что следует из определения Χ² и формулы (2.1). В результате получим

(3.6)

Критическая область - опять двухсторонняя, т.е. гипотеза отвергается, если | t | > t_q.

В качестве примера проверим гипотезу о том, что средняя светоотдача по старой и новой технологии одинакова согласно данным примера из предыдущего раздела. Выберем α = 0.05 и по таблице t-распределения найдем, что при ν = 9 + 10 - 2 = 17   t_q = 2.1. Теперь вычисляем:

Вывод: | t_э | < t_q. Гипотеза о равенстве средних значений светоотдачи ламп, изготовленных по старой и новой технологии, проверена по t критерию на уровне значимости 5% и принята.

далее ...