Раздел 2.2.  Распределение  Χ ². Доверительный интервал для дисперсии

По закону Χ² ("хи-квадрат") распределена сумма ν квадратов независимых нормально распределенных величин, каждая из которых имеет математическое ожидание, равное 0, и дисперсию, равную 1. Очевидно, у этого закона один параметр ν, получивший название - "число степеней свободы". Используя элементарные знания теории вероятностей, легко показать, что математическое ожидание MΧ_ν² = ν, дисперсия DΧ_ν² = 2ν, плотность распределения p(Χ_ν²) имеет один максимум, который при ν = 1 и ν = 2 лежит в точке Χ_ν² = 0, а затем с ростом ν сдвигается в сторону увеличения Χ_ν². При очень больших ν (ν > 30) распределение, как следует из центральной предельной теоремы, практически неотличимо от нормального с соответствующими значениями матeматического ожидания и дисперсии. Можно показать, что комбинация

Теперь попробуем найти интервал, в котором дисперсия значения измеренной длины волны лежит с вероятностью, например, P = 0.9. Если бы нам удалось точно оценить дисперсию, т.е. S_λ² равнялось бы σ² , это означало бы, что Χ² согласно (2.1) приняло значение n-1, т.е. своего математического ожидания. Разумеется, это практически невероятный счастливый случай. Нас устроит попадание Χ² в интервал, простирающийся "влево" и "вправо" от математического ожидания и соответствующий вероятности 0.9. Найти его можно с помощью таблицы Χ² - распределения Строки таблицы соответствуют разным значениям числа степеней свободы, столбцы - значениям вероятности того, что случайная величина Χ² примет значение большее, чем Χ²_q - число, стоящее в соответствующей клетке таблицы. Выбрав строку с ν = 4 (у нас было n = 5 элементов выборки, а ν = n - 1), находим, что в этом случае Χ² с вероятностью P = 0.95 больше значения Χ²_q1 = 0.71 и с вероятностью P = 0.05 больше значения Χ²_q2 = 9.5. (Таким образом, мы отбросили область очень малых и очень больших Χ², которые согласно (2.1) соответствуют очень "неправильным" оценкам: S_λ² << σ² и S_λ² >> σ²).

Получилось, что с вероятностью P = 0.9

                                            Χ²_q1≤ Χ²_q ≤ Χ²_q2

или

"Перевернув" неравенства и подставив S_λ² , получаем, что с вероятностью P = 0.9

                                            0.054 ≤ σ² ≤ 0.721

Из выше приведенного примера видно, что при малом объеме выборки дисперсия оценивается плохо (доверительный интервал весьма широк). Поэтому для построения доверительного интервала для математического ожидания нельзя, например, воспользоваться нормальным законом распределения случайных величин x и .
(Мы знаем вид закона, но не знаем его параметра - дисперсии, поэтому приходится привлечь еще одно производное от нормального распределения).