Раздел 3.3.   Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий.
F-распределение

Пусть есть две независимые выборки значений нормально распределенной величины x: х₁, х₂, ..., x_n - всего n элементов, и нормально распределенной величины y: y₁, y₂, ..., y_m - m элементов.

Гипотеза Н₀ состоит в том, что дисперсии величин Х и У равны, т.е.

                                           Н₀: Dx = Dy = σ².                                           (3.2)

, (3.3)

где , , распределена по закону, получившему название "распределение Фишера" или "F-распределение".

У этого распределения два параметра k₁ и k₂, называемых числом степеней свободы для числителя и знаменателя. Очевидно, F принимает только положительные значения. Кроме того, F-распределение обладает одним очевидным свойством: если известна вероятность α того, что F > F_q (некоторого фиксированного числа), то, очевидно с такой же вероятностью 1 / F < 1 / F_q , следовательно, с вероятностью 2α F выходит за пределы интервала (1 / F_q, F_q). Поэтому таблицы F-распределения содержат только границы F_q > 1 при заданном   и при определенных k₁, k₂ . Пользователь же должен помнить, что если экспериментальное значение критерия F окажется меньше 1, то его надо "перевернуть" и сравнить с табличным F_q обратную величину. Здесь приводятся таблица только для α = 0.05. При необходимости введения других значений уровня значимости надо использовать более подробные статистические таблицы [5], в некоторых программных пакетах, например, в Mathcad, встроено вычисление F_q при любых α .

Подставив в F (3.3) в качестве V₁ комбинацию (n - 1) * S_x² / Dx, которая, как было ранее показано, распределена по закону , а в качестве V₂ - (m - 1) * S_y² / Dy, которая распределена по закону ,
получим, что в случае равенства дисперсий Dx и Dу ( 3.2) отношение

(3.4)

подчиняется распределению Фишера, и, следовательно, может служить критерием проверки гипотезы о равенстве дисперсий (3.2).

Пример: Предложена новая технология изготовления ламп, утверждается, что она обеспечивает меньший технологический разброс светоотдачи, чем старая. Для проверки изготовлено n = 9 ламп по старой технологии: они имеют значения светоотдачи (лм/Вт):

x: 62, 73, 80, 79, 63, 77, 81, 75, 62;

и m = 10 ламп по новой технологии, их светоотдача:

y: 75, 78, 77, 68, 73, 79, 72, 71, 86, 79.

Формулируем гипотезу: технологический разброс одинаков, т.е. Dх = Dу. Критерий проверки F (3.4). Выберем уровень значимости α = 0.05. По таблице находим F_q.

Если окажется, что S_x² > S_у², k₁ = 8, k₂ = 9, то F_q = 3.23.

Если S_у² > S_x², k₁ = 9, k₂ = 8, то F_q = 3.39.

Вычисляем: = 72.4
= 63.5

=75.8
= 25.3

F_э = 63.5 / 25.3 = 2.51. Вывод: F_э < F_q.

Гипотеза о равенстве дисперсий светоотдачи при изготовлении ламп по старой и новой технологии проверена по критерию Фишера на уровне значимости 0.05 и принята. (Если разработчики все же настаивают на преимуществах новой технологии, следует провести новый эксперимент с выборками больших объемов).  

далее ...