Раздел 5.  Планирование эксперимента (продолжение)

Если цель эксперимента состоит в том, чтобы найти значения уровней факторов, обеспечивающих экстремум параметра y, то при небольшой области допустимых значений факторов возможно "прямое" решение задачи с выбором модели в виде полинома. Однако, чтобы поточнее найти экстремум в широкой области варьирования придется делать много экспериментов. Чтобы сократить их число, можно применить прием, называемый "метод крутого восхождения". Ему предшествует прикидочный эксперимент вблизи границы области варьирования факторов с определением коэффициентов линейной модели. При этом можно выполнять опыты только на границах выбранной узкой области, т.к. зависимость предполагается линейной. В качестве примера возьмем уже полученный в разделе 4 результат. Зависимость светоотдачи от концентрации добавок А и В в области изменения А от 40 до 80 мг и В от 2 до 6 мг оказалась линейной. Она имеет вид (для простоты и наглядности коэффициенты немного округлены):

y = 31 + 0.4х₁ + 1.7х₂

Вектор градиента с компонентами: (dy/dx₁, dy/dx₂) указывает направление на экстремум. Поэтому для скорейшего достижения экстремума выполняется серия опытов, в которых значения x₁ и x₂ изменяются пропорционально этим компонентам.

Коэффициент пропорциональности выбирается достаточно произвольно на основе опыта экспериментатора, технологических соображений и возможной точности установки уровней факторов. Опыты начинаются с центра плана (средние значения х₁ и х₂) ведутся до тех пор, пока значение параметра не начнет уменьшаться. В нашем случае выбираем "шаг" по концентрации добавки В - 1 мг, соответственно, шаг по А - 23.5 мг.

Если экстремум ищется в пространстве к факторов, то нужно сделать к + 1 опыт в к + 1 точке к-мерного пространства, не расположенных в подпространстве к - 1 измерения (т.е. если фактора 2, то 3 точки не должны лежать на одной прямой, если к = 3, то 4 точки не должны лежать в одной плоскости и т.д.). Пусть опыты дали результаты y₁, y₂, ..., y_k+1. Для определенности предположим, что ищется максимум y, тогда из этих результатов выбираем точку с номером l, в которой получено минимальное значение y, и строим новую точку l', "отражая" точку l относительно подпространства, содержащего остальные точки. В точке l' выполняем новый опыт. Из полученных результатов (исключая точку l) снова выбираем минимум и процесс повторяем до тех пор, пока картина не начнет "вращаться" около некоторой точки L, которая и является искомым максимумом.

Поясним это на простом примере. Предположим, на светоотдачу (y) источника света влияют в основном две добавки А и В, концентрации которых могут изменяться в достаточно широких пределах. Мы ищем оптимальную точку x (x₁, x₂), где x₁ - количество добавки А, x₂ - количество добавки В, обеспечивающие максимум светоотдачи. Здесь речь идет о планировании в двумерном пространстве.

Первоначально изготовим три лампы следующего состава:

1) x₁ = 2 мг, x₂ = 1 мг;

2) x₁ = 4 мг, x₂ = 2 мг;

3) x₁ = 2 мг, x₂ = 3 мг;
и определим их светоотдачу.

Получим y₁ = 85 лм/Вт, y₂ = 92.5 лм/Вт, y₃ = 87 лм/Вт. Видно, что минимум получился в точке 1 ."Отразим" ее относительно прямой 2-3, т.е. проведем прямую через точку 1 и середину отрезка, соединяющего точки 2, 3 и отложим на ней отрезок, равный расстоянию от точки 1 до точки пересечения с прямой 2-3.

Получим точку 4: x₁ = 4 мг, x₂ = 4 мг. Изготовив лампу с таким составом, получим светоотдачу y₄ = 92 лм/Вт. Теперь минимум соответствует точке 3, ее отражение - точка 5: x₁ = 6 мг, x₂ = 3 мг - дает светоотдачу y₅ = 93 лм/Вт.

Здесь k - размерность пространства факторов (в примере k = 2), i - номер координаты (i = 1, ..., l, ... k), j - номер точки (j=1, 2, ... k+1), l - номер точки, в которой получен минимум, L-номер точки, в которой должен быть сделан следующий эксперимент.

1) точка после отражения вновь дает минимальное значение y, т.е. в нашем примере мы могли бы получить в точке 5 не 93лм/Вт, а, скажем, 88 лм/Вт. В этом случае из предыдущей группы точек (2,3,4) "отражается " дающая не самое маленькое, а второе по величине значение , в нашем примере это точка 2 (Y = 92.5лм/Вт). Ее надо "отразить" в прямой 3 - 4, далее процесс продолжается стандартно;

2) точки начинают "вращаться" около некоторой точки x'. Тогда имеет смысл повторить эксперимент в этой точке, чтобы исключить опасность принять за экстремум результат экспериментальной погрешности. Если же максимальное значение y воспроизведется, то следует принять x' за координату максимума. Можно уточнить положение экстремума, реализуя вблизи x' симплекс-метод с более мелким "шагом" или используя полиномиальную модель и метод наименьших квадратов.

Симплекс-метод легко программируется и часто весьма эффективен, однако надо помнить, что результаты существенно зависят от "шага", т.е. расстояния между первоначально избранными точками (при "широком шаге" можно "перешагнуть" через экстремум, а при "мелком" процесс может быть очень долгим). Кроме того, можно попасть в локальный экстремум, если их несколько у исследуемой функции. Поэтому метод, как и другие приемы статистической обработки данных и планирования эксперимента, принесет хорошие плоды только в сочетании с глубоким знанием объекта исследования и широком использовании всей ранее полученной информации о нем.