- среднее по строке (в нашем случае среднее из трех значений светоотдачи по всем режимам для j-той горелки);

- среднее по столбцу, в нашем случае среднее значение светоотдачи по всем горелкам для i-того режима.

- генеральное среднее всех чисел в таблице

Вычислим значения и внесем их в последнюю строку и последний столбец таблицы, в нижнем правом углу запишем . Далее вычисляем суммы квадратов: ,

Q₁ - характеризует разброс между строками, т.е. влияние первого фактора (у нас - конструкции ); Q₂ - характеризует разброс между столбцами, т.е. влияние второго фактора (теплового режима). В нашем случае:

Q₁ = 3[(8.07 - 9.98)² + (11.2 - 9.98)² + ... + (10.4 - 9.98)²] = 20.37 (семь слагаемых),

Q₂ = 7[(8.9 - 9.98)² + (9.78 - 9.98)² + (11.24 - 9.98)² = 19.17.

Q = (6.9 - 9.98)² + (7.8 - 9.98)² + (9.8 - 9.98)² = 42.02 (21 слагаемое).

Можно показать, что, как и в случае однофакторного анализа, разность
Q₃ = Q - Q₁ - Q₂                                                                                              (3.22)

Вычисляем Q₃: Q₃ = 42.02 - 20.37 - 19.16 = 2.49.

Если гипотеза об отсутствии влияния факторов верна, то, как и в предыдущем случае, отношение всех Q к общей дисперсии распределено по закону Χ², причем число степеней свободы для Q / σ² очевидно равно rv-1, для Q₁ / σ²  -  r-1, для Q₂ / σ² - ν-1, тогда на "долю" Q₃ / σ² остается rν-1-(r-1)-(ν-1) = (r-1)(ν-1) степеней свободы.

Если факторы не влияют на результат то все это- оценки одной и той же дисперсии. Если влияют, то в S₁² отразилось влияние первого фактора, в S₂² - второго. Проверка влияния факторов ведется по критерию Фишера.

, m=1, 2. Если F_mэ>F_q, то m-тый фактор влияет на результат.

Для первого фактора при к₁ = 6, к₂ = 12, F_q = 2.996, F_1э = 3.395 / 0.207 = 16.38. Гипотеза о том, что первый фактор (конструкция) не влияет на светоотдачу, отвергается.

(Отсюда, между прочим, следует важный практический вывод: все горелки соответствовали действующим техническим условиям на их изготовление, разброс в конструктивных параметрах не превышал допусков на соответствующие элементы конструкций. Следовательно, действующие технические условия нуждались в корректировке с целью закрепления конструктивных параметров, обеспечивающих максимальную светоотдачу).

Для второго фактора при к₁ = 2, к₂ = 12, F_q = 3.88, F_2э = 9.58 / 0.207 = 46.2. Гипотеза о том, что второй фактор (тепловой режим ) не влияет на светоотдачу также отвергается.

2) давление Ar (второй фактор); 3) дозировка TlJ (третий фактор). Выполним эксперимент по плану, представленному в таблице 3.7. Условные обозначения уровней факторов здесь примут конкретные значения. Для первого фактора (NaJ): а- соответствует 5 мг; b - соответствует 20 мг; с- соответствует 30 мг; d- соответствует 40 мг. Для второго фактора ( давление Ar): А - 10 мм рт.ст.; В - 15 мм рт.ст.; С - 20 мм рт.ст.; D - 25 мм рт.ст. Для третьего фактора (TlJ): α - 2 мг; β - 4 мг; γ - 6 мг; δ - 8 мг. Результат измерения светоотдачи (в относительных единицах) приведен в той же таблице

Результаты надо понимать, например, так: горелка с 5 мг NaJ, 5 мм рт.ст. Ar и 8 мг TlJ дала 45 ед. светоотдачи. Как и раньше вычислим средние по строкам и по столбцам и занесем эти данные в таблицу. Кроме того, вычислим средние по уровням третьего фактора
(p = α, β, γ, δ).

Находим также генеральное среднее всех значений в таблице и поместим его в правом нижнем углу таблицы.

, характеризующих влияние первого (Q₁), второго (Q₂) и третьего (Q₃) факторов соответственно и "остаточной суммы квадратов".

Q₄ = Q - Q₁ - Q₂ - Q₃,                                                                                     (3.23)

Число степеней свободы для каждой оценки, характеризующей влияние факторов равно n-1, для Q оно, очевидно, равно n²-1, поэтому для "остаточной" оценки остается n²-1-3(n-1) степеней свободы. Проверка гипотезы об отсутствии влияния фактора с номером m (m = 1, 2, 3) проводится по критерию Фишера, экспериментальное значение которого определяется отношением

, где (m = 1, 2, 3), .

Критическое значение F_q для всех факторов при выбранном уровне значимости одинаково и берется при числе степеней свободы к₁= n-1, к₂= n²-1-3(n-1).

В нашем примере:

Q₁ = 4[(23 - 21.8)² + (22.25 - 21.8)² + (21.5 - 21.8)² + (20.5 - 21.3)²] = 13,

Q₂ = 4[(22.7 - 21.8)² + (23 - 21.8)² + (21.2 - 21.8)² + (20.25 - 21.8)²] = 17,

Q₃ = 4[(11.7 - 21.8)² + (14.7 - 21.8)² + (20.5 - 21.8)² + (40.25 - 21.8)²] = 1968,

Q = (14 - 21.8)² + (17 - 21.8)² + ... + (10 - 21.8)² = 2047 (16 слагаемых).

Q₄ = 2047 - 13 - 17 - 1968 = 49.

к₁ = 3, к₂ = 6, соответственно:

S₁² = Q₁ / 3 = 4.33, S₂² = Q₂ / 3 = 5.66, S₃² = Q₃ / 3 = 656, S₄² = Q₄ / 6 = 8.16.

F_1э = 0.53, F_2э = 0.69, F_3э = 80.4; F_q =  4.77 (при к₁ = 3, к₂ = 6, α = 0.05).

Делаем вывод, что факторы первый и второй не влияют на светоотдачу, т.е. дозировки NaJ и аргона при вариации их в изученных пределах не сказываются на светоотдаче (это, разумеется, не исключает возможности заметить влияние этих факторов, варьируя их в более широких пределах). В то же время дозировка TlJ при изменении ее в диапазоне от 2 до 8 мг заметно влияет на светоотдачу. Следовательно, в дальнейших экспериментах интервал варьирования количества NaJ и буферного газа следует расширить, если необходимо найти, когда они станут влиять на параметр, а характер влияния TlJ на светоотдачу требуется проследить более детально.