Появление мощных источников когерентного светового излучения (лазеров) привело к возникновению нового направления исследований, связанного с изучением взаимодействия мощных когерентных потоков электромагнитного излучения с веществом, получившего название "Нелинейная оптика".

Оптические эффекты, характер которых зависит от интенсивности излучения, называют нелинейными, а область оптики, изучающая нелинейные оптические эффекты (оптика мощных световых потоков) - нелинейной оптикой.

До появления лазеров число нелинейных оптических эффектов можно было перечислить по пальцам. Существовавшие до лазеров источники давали световые волны слишком малой интенсивности и, как следствие, этого большинство наблюдаемых оптических эффектов не зависело от интенсивностей волн. Только после появления лазеров - источников света, позволяющих получить световые волны с напряженностями полей 10⁷ ... 10⁹ В/см и выше, т.е. поля, сравнимые с внутриатомными - нелинейные явления в оптике стали предметом пристального изучения.

Любой электромагнитный процесс в среде описывается уравнениями Максвелла:

(1)

где E(r,t), H(r,t) - вектора напряженностей электрического и магнитного полей в точке r в момент t; r - плотность зарядов; j - плотность тока; D и B - вектора электрической и магнитной индукции.

Однако этих уравнений недостаточно для решения электромагнитной задачи, необходимы материальные уравнения, устанавливающие дополнительные связи между указанными векторами.

D=e0E+P',  B=m0H+M',  j=sE

(2)

Уравнения (2) устанавливают связь между вектором макроскопической поляризации среды P', вектором макроскопической намагниченности среды M' и векторами D и B, а также между плотностью тока j и напряженностью электрического поля E. Далее не будем учитывать магнитные свойства среды.

В изотропном случае макроскопическая поляризация среды зависит от напряженности электрического поля E. Коэффициентом пропорциональности в такой зависимости является диэлектрическая восприимчивость среды c(E), которая в общем случае тоже зависит от E. Если учесть эту зависимость, то для уравнения (2) получим:

P'=e0 c(E) E  → (2) :   D=(1+c(E)) e0 E = e(E) E

(3)

Величина e(E)=1+c(E) называется диэлектрической проницаемостью.

В слабых полях восприимчивость среды (и диэл. проницаемость) - константа, не зависящая от напряженности электрического поля. Следовательно, реакция среды на внешнее поле - линейная:

P'=e0 c0 E,  D=(1+c0) e0 E = e0 e E,  e=1+c0

(3a)

Нелинейные эффекты проявляются лишь тогда, когда поля достаточно сильны и величины c и e уже нельзя считать не зависимыми от напряженности поля. Чтобы проиллюстрировать появление нелинейной зависимости величин c и e, вычислим их в рамках простой классической задачи. Рассмотрим газ, состоящий из атомов (два точечных заряда: ядро и электрон) без постоянного электрического дипольного момента. В отсутствие внешнего поля положение точечных зарядов совпадает. Поместим его в постоянное электрическое поле. Заряды в каждом атоме сместятся на некоторое расстояние. Для простоты будем считать, что смещение электрона совпадает с направлением внешнего электрического поля. Тогда можно не учитывать векторного характера величин, входящих в задачу, и оперировать скалярами. Таким образом, атомы приобретут дипольный момент d = e r.

Если было N атомов, то макроскопическая поляризация

P' = N d = N e r

(4)

На электрон действуют две силы: одна - действие электрического поля - F_E = e E, а вторая - упругая - возвращает электрон в прежнее положение F_У = - k r - q r³ (эта сила в общем случае нелинейно зависит от смещения электрона). Приравняем их и получим уравнение для определения смещения электрона во внешнем поле.

e E = k r + q r3;

(5)

Из (4) выражаем r и подставляем в (5) и получаем нелинейное уравнение для поляризации:

(6)

Решим его относительно P', считая член с P' ³ малым. Пусть P' = P'₀ + P'₁ (два порядка малости), тогда, подставив их в (6), получим два уравнения (одно для членов нулевого порядка малости, другое - для членов первого порядка малости) и решим их.

(7)

Сравнив полученное решение с (3), получаем

(7a)

Т.е. восприимчивость является нелинейной функцией напряженности поля. Если же поле достаточно слабое (значительно меньше внутриатомного), то вторым членом можно пренебречь (это означает, что смещение r мало и в выражении для F_У мы пренебрегаем членом qr³) и восприимчивость становится постоянной величиной.

До этого мы рассматривали случай изотропной среды. Когда среда анизотропна, восприимчивость и проницаемость вместо скаляров становятся тензорами второго ранга, а связь между векторами P', D, E имеет вид

(8)

d_ij - единичный тензор.

Для декартовой системы координат:

(8a)

Зная параметры внешнего электрического поля и тензор восприимчивости для данного кристалла, обычно определяемый экспериментальными методами, можно всегда рассчитать его поляризацию.

Рассмотрим поляризацию диэлектрика в высокочастотном поле на той же простейшей модели газа. Поскольку напряженность электрического поля теперь зависит от времени, необходимо решать динамическую, а не статическую задачу для движения электрона. Уравнение движения электрона запишется в виде

(9)

где F_T - сила трения пропорциональна скорости движения электрона (так мы учитываем возможные потери энергии электроном); F_E - сила, действующая со стороны внешнего электрического поля; F_У - упругая сила. Упругую силу возьмем в линейном приближении (для случая слабого поля): F_У = - k r. Подставив в (9), получим:

(10)

Последнее уравнение получено заменой r на выражение через поляризацию из (4), за w₀² принято k/m.

Пусть поле меняется по гармоническому закону E(t) = E₀ cos wt, тогда решение для поляризации будем искать в виде P' = P'₀ cos(wt+j). Дифференцируя это выражение нужное число раз, подставим его в (10):

(w02 - w2) P0 (cos wt cos j - sin wt sin j) - - gзwP0 (cos wt sin j + sin wt cos j) = e²N/m E0 cos wt

(10a)

Приравняем по отдельности члены при cos wt и sin wt нулю:

- (w02 - w2) sin j - gзw cos j = 0 (w02 - w2) P0 cos j - gзwP0 sin j = e2 N E0 / m

(11)

Из первого равенства определяем фазу поляризации

(12)

и подставив во второе, получим

(11a)

Очевидно, решение для поляризации имеет вид

(13)

До сих пор предполагалось, что на электрон действует поле малой напряженности. Мы брали F_У = - k r (линейное приближение, пригодное для случая малого смещения электрона). Теперь будем считать, что напряженность светового поля и смещение электрона могут быть достаточно большими, и для упругой силы возьмем F_У = - k r - q r³:

	(14)
	(15)

Будем, как и раньше считать, что поле E(t) меняется по гармоническому закону, рассматривая нерезонансный случай (|w-w₀| >> g_з). Членами при g_з и P' ³ пренебрегаем. Решение опять ищем в виде P'=P'₀+P'₁ (два порядка малости), подставляем его в (15) и собирая отдельно члены нулевого и первого порядков малости, получаем:

	(16)
	(17)

Первое уравнение мы уже решали, это решение вдали от резонанса - (13a). Подставляем его в (17):

(18)

Т.к. напряженность поля меняется по гармоническому закону, то

E3(t) = 1/4 E03 (3 cos wt + cos 3wt)

(19)

Уравнение (18) - это уравнение гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила (правая часть уравнения), состоящая из двух компонент, одна из которых меняется с частотой w, а другая - с частотой 3w. Поэтому решение будем искать в виде P'₁=P'_1,w cos wt + P'_1,3w cos 3wt. Подставляя его в (18) и получаем:

	(20)
	(21)

Объединяем (20-21) и получаем общее решение:

P'= P'0 + P'1 = c(w,E0) E0 cos wt + c(3w,E0) E0 cos 3wt

(22)

где

(23)

Таким образом, в рамках простейшей модели мы показали, каким образом из-за нелинейных свойств среды в сильном световом поле возникают высшие гармоники.