Раздел 8.   Закон больших чисел

Сущность закона больших чисел состоит в том , что при большом числе независимых опытов частота появления какого-то события близка к его вероятности. Это известное на бытовом уровне явление строго следует из теоремы Чебышева:

Пусть есть последовательность независимых случайных величин х₁ , х₂  ... х_n , имеющих матожидания и дисперсии, тогда среднее арифметическое этих величин при n → ∞ сходится к среднему их матожиданий по вероятности, т.е. для любого ε > 0

Если матожидание всех величин одинаково, то теорема утверждает, что с ростом числа усредняемых величин вероятность того, что среднее арифметическое отклонится по модулю от матожидания меньше, чем на любое сколь угодно малое число, стремится к единице. (сходимость по вероятности отличается от обычной сходимости тем, что нельзя указать такого n, при котором разность станет наверняка меньше ε , хотя и ничтожно малая, но все же существует вероятность и большего отклонения).

Следствие:
Рассмотрим схему независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие происходит с вероятностью р. Число m появлений события в n испытаниях распределено по закону Бернулли с матожиданием np. Введем случайную величину ξ_i , которая равна 1, если событие в i-том испытании произошло и равна 0, если оно не произошло. Тогда в серии n испытаний получим последовательность независимых величин ξ_i , к которым и применим теорему Чебышева. Это даст:

Что и соответствует "житейскому" представлению о законе больших чисел.