Раздел 3.   Геометрическая вероятность

Если пространство элементарных событий содержит бесконечное множество элементов и ему можно поставить в соответствие некоторое геометрическое пространство, а вероятность каждого события зависит только от меры этого события, а не от его положения, то говорят, что на этом пространстве определена геометрическая вероятность. При этом вероятность каждого события А есть отношение меры А к мере U пространства элементарных событий. Под мерой понимается

Таким образом, геометрическая вероятность означает, что

Пример: Игла Бюффона.
Стол разграфлен параллельными линиями на расстоянии 2а, на стол случайным образом бросается игла длиной 2L,  L < a. Какова вероятность того, что игла пересечет какую-то линию ?

Рисунок 3.1. " Игла Бюффона"

Положение иглы можно характеризовать двумя параметрами:
Х - расстояние от центра иглы до ближайшей линии, φ - угол между направлением иглы и линии. "Случайность" положения иглы означает, что Х может равновероятно принимать любые значения от 0 до а, а φ - соответственно - от  0 до Π. Тогда пространство элементарных событий представим прямоугольником, а событие А (пересечение произошло) - областью под кривой Х = L×sinφ, т.к. для пересечения нужно, чтобы Х было меньше, чем L×sinφ (случай 2 на рисунке 3.1)

Рисунок 3.2. Пространство элементарных событий и событие А (заштриховано) для " Иглы Бюффона"

В этом случае площадь U равна Π×а, а площадь под кривой

таким образом вероятность пересечения P(A) = 2×L / (Πа).