Задачи по "Теории вероятностей"

71. Случайная величина х подчинена показательному закону распределения с параметром a.
    

    P(х) = c×еxp(-a×x)	при х > 0
    P(x) = 0	при х <= 0

    1. найти с;
    2. найти функцию распределения F(х);
    3. найти Mx;
    4. найти вероятность того, что случайная величина х примет значение меньшее, чем ее математическое ожидание;
72. Рассматривается пуассоновское поле точек на плоскости с постоянной плотностью b.
    Найти закон распределения расстояния R от любой точки поля ближайшей к ней соседней точки.
73. В пространстве трех измерений случайным образом расположены точки. Число точек в некотором объеме b пространства есть случайная величина, подчиненная закону Пуассона с математическим ожиданием а = b×n, где n - среднее число точек, находящихся в единичном объеме. Требуется найти закон распределения расстояния R от любой точки пространства до ближайшей к ней случайной точки.
74. В ансамбле систем, находящихся в термодинамическом равновесии, в термостате с температурой Т плотность распределения энергии отдельной системы имеет вид   P(Е) = C ехр(-Е⁄кТ)
    Найти:
    1. константу C
    2. среднюю энергию системы (МЕ);
    3. величину флуктуаций энергии (DE).
       Доказать, что DE = kT²d(МЕ)⁄dT;
75. Из хорошо перетасованной колоды (52 карты) на стол последовательно выкладываются карты лицевой стороной наверх, после чего аналогичным образом выкладывается вторая колода, так что каждая карта первой колоды лежит под картой из второй колоды.
    Каково среднее число совпадений нижней и верхней карт ? Каково среднее число совпадений масти нижней и верхней карт?
76. В страховом обществе застраховано n человек одного возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти для каждого лица равна P. Каждый застрахованный вносит 1-го января 1 тыс. рублей, и в случае его смерти родственники получают от общества b тыс.рублей.
    Найдите вероятность того, что
    1. общество потерпит убытки,
    2. общество получит прибыль, не меньшую, чем c тыс.рублей.
77. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна P. Производится n независимых выстрелов.
    Укажите промежуток, в котором с вероятностью 0.95 будет находиться число попаданий.
78. Производится n независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события А равна P.
    Чему равна вероятность того, что частота наступления события А отклонится от его вероятности не более чем на q?
79. Известно, что вероятность выпуска бракованного сверла равна P. Сколько сверл нужно класть в коробку, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.9, в ней было не менее n исправных?
80. Пусть х и у - независимые нормальные случайные величины, имеющие средние 1 и дисперсии c.
    1. Докажите, что случайная величина z = ах + bу - также нормальная случайная величина и найдите ее числовые характеристики;
    2. То же для величины q = ax-by;
81. Газета публикует номера шаров, выпавших в очередном тираже "Спортлото 6 из 49" в возрастающем порядке. Пусть Х - номер, начинающий "счастливую" шестерку, а У - наибольший из выигравших номеров.
    Найдите законы распределения Х и У, их средние и дисперсии.
82. В лоторее 1000 билетов,из них 9 выигрышных. Цена билета 1000 рублей. Выигрыш 100 000 рублей. Сколько билетов надо купить, чтобы Ваш средний доход был максимален?
83. Известно, что вероятность выпуска бракованной детали равна P. Детали упаковываются в ящики по n штук.
    Найдите вероятность того, что
    1. в случайно взятом ящике не окажется бракованных ждеталей,
    2. число бракованных деталей в ящике не превысит 1 штуки.
    Сколько деталей следует добавить в каждый ящик, чтобы в нем с вероятностью, не меньшей 0,99 было не менее n исправных ?
84. Имеется 3 ящика и три одинаковых шарика. Эксперимент состоит в случайном распределении шариков по ящикам.
    1. найдите вероятность того, что один из ящиков содержит ровно два шара;
    2. пусть х - число занятых ящиков, у - число шариков в ящике 1. Найдите законы распределения случайных величин х и у и вектора (х,у);
    3. найдите Мх, Му, Dх, Dу;
    4. найдите Cov(х,у). Являются ли х и у независимыми случайными величинами?
85. Бросают 2 кости. Постройте закон распределения и ковариационную матрицу вектора (х,у), где х - число очков на первой кости, у - сумма очков на первой и второй кости.
86. Игроки А и В играют в "монету" следующим образом: монета бросается до тех пор, пока не появится выбранная одним из них комбинация из двух результатов. Например А ставит на "два орла" (OO), а В - на "орел, решка" (OP). Тогда А выигрывает, если бросания имеют результаты: POО, или PPOO, или OO и т.п.; а B выигрывает PPOP, или OP, или POP, или PPPOP и т.д.
    Равновероятны ли шансы игроков на выигрыш?
    Зависит ли вероятность выигрыша от выбранной комбинации?
87. Ниже приводится закон распределения случайного вектора х, у.
    1. Заполните пустую клеточку (таблица ниже)
    2. Постройте ковариационную матрицу х, у
    3. Являются ли х, у независимыми ?
    4. Найдите Mx, My, Dx, Dy, а также условную вероятность P(x=1⁄y<2)
    5. Найдите P{(y+x) < 2}

    y x	0	1	2
    0	1⁄8	1⁄8
    1	0	1⁄4	1⁄8

88. Два независимых, различных генератора генерируют каждый с вероятностью P  "0" или с вероятностью 1 - P "1" . Рассмотрим случайный вектор (х,у) , где х - число, выданное первым генератором, у - сумма значений, выданных двумя генераторами (сумма обычная, т.е. 1 + 1 = 2).
    Постройте закон распределения вектора (х,у) и ковариационную матрицу (х,у).
    Являются ли х и у независимыми?
89. Бросают 2 кости. Постройте ковариационную матрицу вектора (х,у), где х - число очков на первой кости, у - на второй.
    Найдите условную вероятность события: сумма очков равна 7 при условии, что на первой кости 3 очка.
    Найдите закон распределения вектора (z₁,z₂), z₁=x+y, z₂=x-y.
    Найдите Мz₁, Mz₂, Dz₁, Dz₂, Cov(z₁,z₂).
90. Эксперимент состоит в случайном выборе набора n карт из колоды (36 карт).
    1. Пусть Х - число тузов, а У - черных карт среди выбранных.
       Найдите законы распределения Х и У.
    2. Найдите закон распределения вектора (Х,У).
       Являются ли Х и У независимыми случайными величинами?
91. Эксперимент состоит в случайном выборе одной из костей домино из полного их набора.
    1. Опишите пространство элементарных исходов этого эксперимента, сколько элементов оно содержит?
    2. Пусть х - максимальное из числа очков на выбранной кости, у - сумма очков на выбранной кости. Найдите законы распределения х и у.
    3. Найдите Mх, Mу, Dx, Dy.
    4. Являются ли х и у независимыми случайными величинами?
92. Точка (х,у) выбирается случайным образом из треугольника с вершинами А(2,2), В(0,2), C(2,0).
    Найдите:
    1. Плотность распределения вектора (х,у).
    2. Плотности х и у.
    3. Функцию распределения вектора (х,у), функцию распределения х и функцию распределения у.
    4. Mх, Mу, Dх, Dу.
    5. Cov(ху), являются ли х и у независимыми случайными величинами ?
93. Одна женщина утверждает: "Мой муж среднего роста, а ведь большинство мужчин ниже среднего роста". Бессмысленно ли это утверждение?
94. Эксперимент состоит в одновременном бросании n правильных игральных костей.
    1. Опишите пространство элементарных исходов этого эксперимента. Сколько элементов оно содержит ?
    2. Найдите вероятность того, что по крайней мере на m костях выпадает четное число очков.
    3. Пусть Х - число выпавших пятерок, У - число костей с нечетным числом очков. Найдите законы распределения Х и У.
    4. Найдите Mx, My, Dx, Dy.
    5. Найдите закон распределения вектора (Х,У).
    6. Найдите Cov(Х,У), являются ли Х и У независимыми случайными величинами ?
95. Имеется 4 ящика и три шарика, эксперимент состоит в случайном распределении шариков по ящикам. Пусть х - число занятых ящиков, у - число шариков в ящике 1.
    1. Найдите законы распределения случайных величин х и у и вектора (х,у).
    2. Найдите Mх, Mу, Dх, Dу.
    3. Найдите Cov(ху). Являются ли х и у независимыми случайными величинами ?
96. Случайный вектор (Х,У) имеет плотность распределения A если х² + у² ≤  b² и 0 в противном случае.
    Найдите:
    1. значение A
    2. плотность Х и плотность У
    3. значение функции распределения вектора (Х,У) в точках (a,b), (a,0); (0 < a < b)
    4. Mx, My, Dx, Dy
    5. Cov(x,y). Являются ли Х и У независимыми случайными величинами ?
97. Эксперимент состоит в случайном выборе точки из квадрата |х| ≤  1 ; |у| ≤ 1. Пусть x и y - координаты выбранной точки.
    1. Найдите функцию распределения и плотность каждой из случайных величин x и y
    2. Найдите Mx, My, Dx, Dy
    3. Найдите совместное распределение x и y.
    4. Являются ли x и y независимыми случайными величинами ?
    5. Верно ли, что x + y и x - y - независимые случайные величины ?
98. Плотность распределения случайного вектора (х,у):    p(x,y) = Asin(х)sin(у) если х и у принадлежaт [0, p /2],   иначе p(x,y) =0.
    1. найдите A
    2. найдите Mx, My, Dx, Dy
    3. найдите P(Х<У).
    4. Являются ли Х и У независимыми случайными величинами ?
99. Случайный вектор (x,y) имеет плотность p(x,y) = Aху для точек внутри треугольника с вершинами А(0,a), В(a,a), C(a,0), (a>0), и 0 для остальных точек плоскости.
    Найдите:
    1. коэффициент A
    2. функцию распределения вектора (x,y)
    3. плотность и функцию распределения каждой из случайных величин x и y
    4. Mx, My, Dx, Dy
100. Плотность распределения случайного вектора (Х,У) равна p(х,у) = A×|x|×|y| , если х² + у² ≤ 1 , 0 в противном случае.
     Найдите:
     1. величину A
     2. функцию распределения каждой из случайных величин х, у
     3. Mх, Mу, Dх, Dу
     4. Являются ли х и у независимыми случайными величинами ?
101. В урне находится 10 одинаковых шаров с номерами 1, 2, ..., 10. Эксперимент состоит в случайном выборе без возвращения n шаров.
     1. Опишите пространство элементарных исходов этого эксперимента. Сколько элементов оно содержит?
     2. найдите вероятность того, что наибольший из номеров будет больше m
     3. пусть x - случайная величина, равная числу четных выбранных номеров, y - число номеров, делящихся на 3.
        Найдите законы распределения x и y, а также Mx, My, Dx, Dy
     4. найдите совместное распределение x и y
     5. Являются ли x и y независимыми случайными величинами ?
102. Случайный вектор (х,у) имеет плотность распределения р(х,у) = А ехр (- a²х² + cху - b²у²).
     Найдите:
     1. величину параметра А?
     2. плотности x и у, а также Mx, My, Dx, Dy
     3. Cov(х,у), являются ли x и у независимыми случайными величинам?
103. Плотность вероятности координаты х частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной а дается формулой: p(x)=(2/a)*sin 2 (pi*x/a).
     Найдите среднее значение и дисперсию координаты х.
104. Вероятность того, что изделие будет работать через время t после начала эксплуатации описывается формулой P(t)=exp(-at).
     Найдите среднее время и дисперсию времени работы изделия.
105. Бросают две кости. Событие А - сумма очков нечетная, событие В - хотя бы на одной кости выпало 1.
     Найдите вероятности событий АВ и А+В.