Задачи по "Теории вероятностей"

1. 10 гостей рассаживается случайным образом за круглым столом.
   Какова вероятность того, что некая пара окажется рядом?
2. В лоторее N билетов, из них М выигрышных. Вы купили К билетов.
   Какова вероятность выиграть?
3. В неполной перетасованной колоде 10 красных карт и 8 черных. Из колоды вынимают сразу пять карт.
   Найти вероятность p того, что две из них будут красными, а три черными.
4. Из ящика, содержащего n пронумерованных изделий, наугад вынимают одно за другим все находящиеся в нем изделия.
   Найти вероятность того, что номера вынутых изделий будут идти по порядку: 1, 2, ..., n.
5. Тот же ящик, что и в предыдущей задаче, но каждое изделие после вынимания вкладывается обратно и перемешивается с другими, а его номер записывается.
   Найти вероятность того, что будет записана естественная последовательность номеров: 1, 2, ..., n.
6. Из колоды карт (36 штук) случайным образом выбираются 6 карт.
   1. Опишите пространство элементарных исходов этого эксперимента. Сколько элементов оно содержит?
   2. Найдите вероятность того, что в выбранном наборе будет только один туз.
7. М телеграмм случайным образом распределяются по N каналам связи (N > М).
   Найти вероятность события А того, что ни на один канал не придется больше одной телеграммы.
8. Из кучи монет 1, 5, 10, 50 коп. берется горсть монет.
   Найти вероятность того, что сумма денег четная.
9. Имеются m различных частиц, каждая из которых может находиться с одной и той же вероятностью 1/N в каждой из N ячеек (N > m).
   Найти вероятность того, что:
   1. в определенных N ячейках окажется по одной частице,
   2. в каких-то N ячейках окажется по одной частице.
10. Та же задача в статистике Бозе-Эйнштейна: частицы неразличимы.
11. Та же задача в статистике Ферми-Дирака: частицы неразличимы и в каждой ячейке не более 1 частицы.
12. Найти ошибку в доказательстве утверждения: для любых А и В    P(А) = P(В)
    Доказательство:
    

    А = А - В + В ,   A - B и B не совместны,	В = В - А + А ,   B - A и A не совместны ,
    P(А) = P(А - В) + P(В) ,    P(А) > P(В)	P(В) = P(В - А) + P(А) ,    P(В) > P(А),
    т. е. P(А) = P(В)

13. Имеется 10 одинаковых карточек, на которых написаны цифры от 0 до 9. Эксперимент состоит в случайном выборе (без возвращения) трех карточек из этих 10.
    1. Опишите пространство элементарных исходов этого эксперимена, сколько элементов оно содержит?
    2. Найдите вероятность того, что из выбранных цифр можно составить число, делящееся на 3, на 5.
14. По схеме случайного выбора с возвращением из 18 натуральных чисел выбираются 2 (х и у). Найти вероятность того, что:
    1. х² - у² - делится на 2,
    2. х² - у² - делится на 3.
15. Два студента А и В поочередно бросают игральную кость. Выигрывает тот, у которого раньше выпадает пятерка. Начинает А.
    1. Опишите пространство элементарных исходов эксперимента по бросанию игральной кости до первого выпадeния пятерки.
    2. Найдите вероятность того, что игра закончится при k-том бросании, до k-того бросания.
    3. Найдите вероятность того, что выиграет студент А.
16. N экзаменационных билетов содержат по два вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на m вопросов.
    Какова вероятность того, что взятый экзаменующимся билет состоит из подготовленных им вопросов?
17. В ящике находятся однотипные изделия, изготовленные разными заводами; из них 6 изделий изготовлены заводом 1, 10 изделий - заводом 2, 14 изделий - заводом 3. Из ящика вынимают одно за другим все находящиеся в нем изделия и отмечают места их изготовления.
    Найти вероятность того, что при этом изделие завода 2 появится раньше, чем изделие завода 1.
18. Обрабатываемые на станке детали сортируются по размерам на две группы. Каждая очередная деталь независимо от предыдущих с равными вероятностями попадает в первую или вторую группу. Пусть в начале смены для каждой группы деталей приготовлено по ящику емкости b.
    Какова вероятность того, что в момент, когда очередную деталь будет некуда класть, в другом ящике будет m деталей?
19. В группе 25 человек.
    Какова вероятность того, что хоть у кого-то совпадают дни рождения?
20. Вывести общую формулу вероятности суммы (объединения) n произвольных событий и с ее помощью решить задачу: Секретарь пишет 5 писем и раскладывает их произвольным образом в 5 заранее подписанных конвертов.
    Какова вероятность того, что хоть одно письмо попадет нужному адресату ?
21. Два шарика разбрасываются случайно и независимо друг от друга по четырем ячейкам, расположенным одна за другой по прямой линии. Каждый шарик с одинаковой вероятностью 1/4 попадает в каждую ячейку.
    Найти вероятность того, что шарики попадут в соседние ячейки.
22. Из множества чисел (1, 2, ..., n) по схеме случайного выбора без возвращения выбираются три числа, найти условную вероятность того, что третье число попадет в интервал, образованный первыми двумя, если известно, что первое число меньше второго.
23. Имеется 4 ящика и три цветных шарика. Эксперимент состоит в случайном распределении шариков по ящикам.
    1. Опишите пространство элементарных исходов этого эксперимента. Сколько элементов оно содержит?
    2. Найдите вероятность того, что один из ящиков содержит ровно два шара.
24. Решите предыдущую задачу, если ящиков только 3.
25. При одном цикле обзора радиолокационной станции, следящей за космическим объектом, объект обнаруживается с вероятностью P. Обнаружение объекта в каждом цикле происходит независимо от других.
    Найти вероятность того, что при n циклах объект будет обнаружен.
26. Игральную кость бросают до тех пор, пока впервые не выпадет меньше пяти очков.
    Какова вероятность получить при последнем бросании не меньше двух очков?
27. Производятся независимые испытания, в каждом из которых с вероятностью P может произойти некоторое событие А. Испытания производятся до первого появления события А; общее число испытаний не превосходит m.
    Определить среднее число произведенных испытаний.
28. В ящике лежат красные и черные носки. Если из ящика наудачу вытягиваются два носка, то вероятность того, что оба они красные, равна ½.
    Каково минимально возможное число носков в ящике ?
29. Два судна могут подойти к причалу в любое время в течение суток независимо. На причале одно место для разгрузки. Разгрузка длится 2 часа.
    Какова вероятность событий:
    1. Первое судно придет раньше второго.
    2. Ни одно судно не будет ожидать разгрузки.
    3. Первое судно будет ожидать разгрузки не более 6 часов.
30. Найти вероятность того, что корни уравнения х2 - 2bх + с  вещественны, если коэффициенты b и с любые числа, но по абсолютной величине не превышают некоторого числа В.
31. Отрезок (0,а) случайной точкой делится на две части, из которых случайно выбирается одна часть. Обозначим b длину выбранной части.
    Найти P{b ≤ c } , 0 ≤ c ≤ a , предполагая, что координата случайной точки равномерно р6аспределена на отрезке (0,а) и вероятности выбора любой из полученных частей отрезка одинаковы.
32. Стол разграфлен параллельными линиями, расстояние между которыми а, на стол бросается монета.
    Найти вероятность события: монета упадет гербом вверх или упадет вверх "решкой", но не пересечет ни одну из линий.
33. Если хорда выбирается наудачу в заданном круге, то какова вероятность того, что ее длина больше радиуса круга?
34. Стеклянный стержень длиной L = 1 м ломается случайным образом на 3 части.
    Найти вероятность того, что из обломков можно составить треугольник.
35. Игрок делает ставку в 1 доллар на один из номеров 1, 2, 3, 4, 5, 6. Крупье подбрасывает сразу n=3 костей, и если хоть на одной из них выпало это число очков, ставка возвращается игроку, кроме того, он получает выигрыш во столько долларов, на скольких костях выпал этот номер.
    Каков средний выигрыш в этой игре при данном n? Оцените, при каком числе n игра будет невыгодна для крупье?