Двоичная арифметика
|
При программировании аппаратных средств важно уметь быстро переводить числа
из двоичной в восьмеричную или шестнадцатеричную системы и обратно. Чтобы
перевести двоичное число в восьмеричное, надо разбить его на группы по три бита,
начиная с наименее значащих, затем каждую группу по отдельности перевести в
восьмеричную цифру. Получившиеся восьмеричные цифры образуют запись исходного
числа в восьмеричной системе.
Примеры:
Чтобы перевести двоичное число в шестнадцатеричное, надо разбить его на группы
по четыре бита, начиная с наименее значащих, затем каждую группу по отдельности
перевести в шестнадцатеричную цифру. Получившиеся шестнадцатеричные цифры
образуют запись исходного числа в шестнадцатеричной системе.
Примеры:
|
| hex | dec | oct | bin |
|---|
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F |
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15 |
0
1
2
3
4
5
6
7
10
11
12
13
14
15
16
17 |
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111 |
|
Обратный перевод выполняется аналогично.
В двоичной арифметике используются следующие операции:
| | | Паскаль | Си |
| побитовое отрицание (НЕ) | | NOT | ~ |
| побитовое "И" | | AND | & |
| побитовое "ИЛИ" | | OR | | |
| побитовое исключающее "ИЛИ" | | XOR | ^ |
| сдвиг влево | | SHL | << |
| сдвиг вправо | | SHR | >> |
При побитовом отрицании в двоичном представлении числа каждый бит меняет
значение на противоположное.
Примеры:
| 0010 | 1110 |
 |
| 1101 | 0001 |
NOT $2E = $D1
|
| 1000 | 1101 | 0011 | 1001 |
|
| 0111 | 0010 | 1100 | 0110 |
NOT $8D39 = $72C6
|
При побитовом "И" биты результата вычисляются по битам исходных чисел
независимо друг от друга. Единица получается только в том случае, если в
соответствующих разрядах исходных чисел обе единицы. В остальных случаях - ноль.
Примеры:
| 0010 | 1110 |
| 0011 | 0111 |
|
| 0010 | 0110 |
$2E AND $37 = $26
|
| 1000 | 1101 | 0011 | 1001 |
| 1010 | 0110 | 0100 | 1100 |
|
| 1000 | 0100 | 0000 | 1000 |
$8D39 AND $A64C = $8408
|
Побитовое "И" используется, чтобы определить значение определенного бита
числа. В этом случае в качестве второго операнда (маски) выбирают число, в
котором выставлен в 1 только интересующий разряд. В результате будет получен 0,
если в исходном числе интересующий разряд был равен 0. Если интересующий
разряд был равен 1, то результат выражения равен второму операнду.
| xxxX | xxxx |
| 0001 | 0000 |
|
| 000X | 0000 |
a AND $10 = ?
|
| xxxx | XXXX | xxxx | xxxx |
| 0000 | 1111 | 0000 | 0000 |
|
| 0000 | XXXX | 0000 | 0000 |
b AND $0F00 = ?
|
Побитовое "И" используется, чтобы сбросить в 0 определенные биты числа,
не меняя остальные. В этом случае в качестве второго операнда (маски) выбирают
число, в котором все биты, кроме битов, соответствующих сбрасываемым,
установлены в 1.
| xxxx | xXxx |
| 1111 | 1011 |
|
| xxxx | x0xx |
a := a AND $FD
|
| xxxx | xxxx | XXxx | xxxx |
| 1111 | 1111 | 0011 | 1111 |
|
| xxxx | xxxx | 00xx | xxxx |
b := b AND $FF3F
|
При побитовом "ИЛИ" биты результата вычисляются по битам исходных чисел
независимо друг от друга. Ноль получается только в том случае, если в
соответствующих разрядах исходных чисел оба нуля, в других случаях - единица.
Примеры:
| 0010 | 1110 |
| 0011 | 0111 |
|
| 0011 | 1111 |
$2E OR $37 = $3F
|
| 1000 | 1101 | 0011 | 1001 |
| 1010 | 0110 | 0100 | 1100 |
|
| 1010 | 1111 | 0111 | 1101 |
$8D39 OR $A64C = $AF7D
|
Побитовое "ИЛИ" используется, чтобы установить в 1 определенный бит числа,
не меняя остальные. В этом случае в качестве второго операнда (маски) выбирают
число, в котором выставлен в 1 только интересующий бит, а остальные сброшены.
| Xxxx | xxxx |
| 1000 | 0000 |
|
| 1xxx | xxxx |
a := a OR $80
|
| XXXx | xxxx | xxxx | xxxx |
| 1110 | 0000 | 0000 | 0000 |
|
| 111x | xxxx | xxxx | xxxx |
b := b OR $E000
|
Побитовое исключающее "ИЛИ" отличается от обычного "ИЛИ" тем, что два
единичных бита дают в результате этой операции 0.
Примеры:
| 0010 | 1110 |
| 0011 | 0111 |
|
| 0001 | 1001 |
$2E XOR $37 = $19
|
| 1000 | 1101 | 0011 | 1001 |
| 1010 | 0110 | 0100 | 1100 |
|
| 0010 | 1011 | 0111 | 0101 |
$8D39 XOR $A64C = $2D75
|
Побитовое исключающее "ИЛИ" используется, чтобы изменить определенный бит
числа (инвертировать), не меняя остальные. В этом случае в качестве второго
операнда (маски) выбирают число, в котором выставлен в 1 только интересующий
бит, а остальные сброшены.
| xxxx | xxXx |
| 0000 | 0010 |
|
| xxxx | xxYx |
a := a XOR $02
|
| xxxx | xxxx | xxxx | XXXX |
| 0000 | 0000 | 0000 | 1111 |
|
| xxxx | xxxx | xxxx | YYYY |
b := b XOR $000F
|
При побитовом сдвиге влево на 1 разряд в двоичной записи первого аргумента
справа добавляется 0, а выходящий за разрядную сетку старший бит отбрасывается.
Второй аргумент операции сдвига задает, сколько раз необходимо проделать такую
процедуру. Сдвиг влево на n бит эквивалентен умножению числа на 2n и
имеет то преимущество, что вычисляется процессором гораздо быстрее, чем
целочисленное умножение.
Примеры:
| 0010 | 1110 |
| SHL 1 |
|
| 0101 | 1100 |
$2E SHL 1 = $5C
|
| 1000 | 1101 | 0011 | 1001 |
| SHL 3 |
|
| 0110 | 1001 | 1100 | 1000 |
$8D39 SHL 3 = $69C8
|
Сдвиг влево используют, чтобы "собрать" многобайтное число из отдельных
байтов. Например:
$78 + $56 SHL 8 + $34 SHL 16 + $12 SHL 24 = $12345678
Различают два типа побитовых сдвигов вправо: арифметический и логический.
При арифметическом сдвиге вправо на 1 разряд в двоичной записи первого
аргумента слева дублируется старший разряд (бит знака), а младший бит числа
отбрасывается. При логическом сдвиге вправо на 1 разряд в двоичной записи
первого аргумента слева добавляется 0, а младший бит числа отбрасывается.
Второй аргумент операции сдвига задает, сколько раз необходимо проделать такую
процедуру. Арифметический сдвиг вправо на n бит эквивалентен делению числа
на 2n с учетом знака, а логический - беззнаковому делению. В Паскале
используется логический сдвиг, а в Си - арифметический.
Примеры:
| 0010 | 1110 |
| SHR 1 |
|
| 0001 | 0111 |
$2E SHR 1 = $17
|
| 1000 | 1101 | 0011 | 1001 |
| (логический) SHR 2 |
|
| 0010 | 0011 | 0100 | 1110 |
$8D39 SHR 2 = $234E
|
| 1000 | 1101 | 0011 | 1001 |
| (арифметический) >> 2 |
|
| 1110 | 0011 | 0100 | 1110 |
-29383 >> 2 = -7346
|
Совместно с побитовым "И" сдвиг вправо используют, чтобы "разобрать"
многобайтное число на отдельные байты. Например:
$12345678 AND $000000FF = $78
$12345678 AND $0000FF00 SHR 8 = $56
$12345678 AND $00FF0000 SHR 16 = $34
$12345678 AND $FF000000 SHR 24 = $12
